Concours ENSCK 2022 Mathématiques

Question 31

On considère la fonction définie par : \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 x + \sin 2x + 2}} \). Alors son domaine de définition est :

A) \( \mathbb{R} \) B) \( ]-\pi, \pi[ \) C) \( \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \) D) \( ]0, \frac{\pi}{2}[ \)

Question 32

On considère la fonction définie par : \( f(x) = \begin{cases} x^2 \ln(x^2) & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases} \). Alors :

A) \( f \) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \( f' \) est continue sur \(\mathbb{R}\). B) \( \forall x \in \mathbb{R}^*, f''(x) = 2\ln(x^2) - 6 \) C) \( f \) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). D) \( f'' \) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Question 33

Sur l'intervalle \( \left]\frac{1}{4}, 4\right] \), l'équation \( x - 1 - \sqrt{x} = 0 \) possède :

A) au moins une solution. B) aucune solution. C) une solution unique. D) deux solutions.

Question 34

On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) vérifiant l'équation différentielle : \( f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) = 0 \) telle que \( f(0) = 1 \) et \( f'(0) = 0 \). Alors \( f(x) = \)

A) \( (x^2 + 1)e^{-x} \) B) \( 2e^{-x} - e^{-2x} \) C) \( 2e^{-x} - (x + 1)e^{-2x} \) D) \( x + \frac{e^{-2x}}{2} + \frac{1}{2} \)

Question 35

On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \( f(x) = x + \frac{1}{4} - \frac{e^{2x}}{(e^x + 1)^2} \) et \((\mathcal{C}_f)\) sa courbe représentative. Alors :

A) \((\mathcal{C}_f)\) n'admet pas d'asymptote. B) La droite d'équation \( y = x - \frac{3}{4} \) est une asymptote de \((\mathcal{C}_f)\) au voisinage de \(-\infty\). C) La droite d'équation \( y = x - \frac{1}{4} \) est une asymptote de \((\mathcal{C}_f)\) au voisinage de \(-\infty\). D) La droite d'équation \( y = x + \frac{1}{4} \) est une asymptote de \((\mathcal{C}_f)\) au voisinage de \(-\infty\).

Question 36

Soit \( f(x) = \cos^3 x + \sin^2 x \). Alors \( f(x) = \)

A) \( -\frac{\cos 3x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{1}{4} \) B) \( \frac{\cos 3x}{4} - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{3\cos x}{4} + \frac{1}{2} \) C) \( \frac{\cos 3x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{3\sin x}{4} - \frac{1}{2} \) D) \( \frac{\cos 3x}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{3\cos x}{4} + \frac{1}{2} \)

Question 37

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives \( 2-i \), \( 3+2i \), \( -1+4i \) et \( -2+i \). Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

A) rectangle. B) carré. C) losange. D) parallélogramme.

Question 38

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives \( -1 \), \( -i \), \( 1 \) et \( i \). On note G le barycentre du système pondéré { (A, 2022), (B, 2022), (C, 2022), (D, 2022) }. Alors :

A) \( G \neq 0 \) B) GCD est un triangle rectangle isocèle. C) ABG est un triangle équilatéral. D) ABCD n'est pas un carré.

Question 39

Soit \(\mathcal{C}\) l'ensemble des points d'affixe \(z\) vérifiant \( |z - 1| = |z + 1| \). Alors :

A) \( \mathcal{C} = \emptyset \) B) \(\mathcal{C}\) est un cercle. C) \(\mathcal{C}\) est l'axe des ordonnées. D) \(\mathcal{C}\) est l'axe des abscisses.

Question 40

Dans le plan muni du repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère la transformation \(f\) qui associe à chaque point M d'affixe \(z\) le point M' d'affixe \( z' = e^{i\frac{\pi}{4}}z \). Alors \(f\) est :

A) une translation. B) une homothétie. C) une rotation. D) une symétrie.

Question 41

Soient \((u_n)_{n \geq 1}\) et \((v_n)_{n \geq 1}\) deux suites numériques définies par : \( u_1 = 2 \), \( u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \) et \( v_n = u_n - 3 \). Alors :

A) \((v_n)_{n \geq 1}\) est une suite géométrique et \( u_n = 3 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}, \forall n \geq 1 \). B) \((v_n)_{n \geq 1}\) est une suite géométrique et \( u_n = -3 + \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}, \forall n \geq 1 \). C) \((u_n)_{n \geq 1}\) est une suite convergente vers 0. D) \((v_n)_{n \geq 1}\) est une suite arithmétique.

Question 42

On considère la suite \((u_n)_{n \geq 1}\) définie par : \( u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \). Alors :

A) \( \forall n \in \mathbb{N}, \frac{n}{n^2 + 1} \leq u_n \leq \frac{1}{n + 1} \) B) \( \forall n \in \mathbb{N}, \frac{n}{n + 1} \leq u_n \leq \frac{n^2}{n^2 + 1} \) C) \( \forall n \in \mathbb{N}, \frac{n}{n + 1} \leq u_n \leq 1 \) et \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \). D) \( \forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq u_n \leq \frac{1}{n} \) et \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \).

Question 43

On considère l'intégrale \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx \). Alors \( I = \)

A) \( \frac{1}{2} \) B) \( \frac{3}{2} \) C) \( -\frac{2}{3} \) D) \( \frac{2}{3} \)

Question 44

On note \( I = \int_{0}^{\ln\sqrt{3}} \frac{e^x dx}{1 + e^{2x}} \) et \( J = \int_{0}^{\ln 2} \frac{dx}{1 + e^x} \). Le changement de variable \( t = e^x \) donne :

A) \( I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{12} \) B) \( I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2}\ln 2 \) C) \( J = \int_{1}^{2} \frac{dt}{1 + t} = \ln 3 - \ln 2 \) D) \( J = \int_{1}^{2} \frac{dt}{t(1 + t)} = 2\ln 2 + \ln 3 \)

Question 45

On considère deux événements A et B tels que \( \mathbb{P}(A) = \frac{1}{2} \), \( \mathbb{P}(B) = \frac{5}{12} \) et \( \mathbb{P}(A \cup B) = \frac{3}{4} \). Alors \( \mathbb{P}(\overline{A} \cap \overline{B}) = \)

A) \( \frac{1}{6} \) B) \( \frac{1}{12} \) C) \( \frac{1}{4} \) D) \( \frac{3}{4} \)

Concours ENSCK Kénitra 2022

Épreuve de Mathématiques